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ISSN Versión impresa: 1992-2159; ISSN Versión electrónica: 2519-5697
Biotempo, 2020, 17(2), jul-dic.: 269-280.
ORIGINAL ARTICLE / ARTÍCULO ORIGINAL
APPLICATION OF BESSEL’S DIFFERENTIAL EQUATION
SOLUTIONS
)(xJ
p
IN FOOD ENGINEERING
APLICACIÓN DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
BESSEL
)
(xJ
p
, EN LA INGENIERÍA DE LOS ALIMENTOS
Olegario Marín-Machuca1,2,*; José Iannacone3,4; Fredy Aníbal Alvarado-Zambrano5; Ricardo Arnaldo
Alvarado-Zambrano6; Alcides Castillo-Peña7 & José Manuel Santamaría-Ballena8
1 Laboratorio de Tecnología de Alimentos. Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura.
Universidad Nacional Federico Villarreal (UNFV), Lima, Perú.
2 Escuela Profesional de Ingeniería de Alimentos. Facultad de Ingeniería Pesquera y de Alimentos Universidad Nacional
del Callao (UNAC), Callao, Perú.
3 Laboratorio de Parasitología. Facultad de Ciencias Biológicas. Universidad Ricardo Palma (URP), Lima, Perú.
4 Laboratorio de Ecología y Biodiversidad Animal. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. Grupo de Investigación
en Sostenibilidad Ambiental (GISA), Escuela Universitaria de Posgrado, Universidad Nacional Federico Villarreal
(EUPG–UNFV), Lima, Perú.
5 Laboratorio de Análisis Sensorial de Alimentos. Facultad de Ingeniería de Industrias Alimentarias. Universidad Nacional
Santiago Antúnez de Mayolo (UNASAM), Ancash, Perú.
6 Facultad de Industrias Alimentarias. Universidad Nacional Agraria de la Selva (UNAS), Huánuco, Perú.
7 Laboratorio de Fisicoquímica, Escuela Profesional de Ingeniería Química, Facultad de Ingeniería de Procesos.
Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco (UNAAC).
8 Laboratorio de Tecnología de Alimentos. Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura.
Universidad Nacional Federico Villarreal (UNFV), Lima, Perú.
* Corresponding author: omarin@unfv.edu.pe
ABSTRACT
e Bessel expression is an ordinary di erential equation of second order (EDOPO), whose solutions are spherical and
can be solved by Frobenius' methods, indeterminate series, and coe cients; whose values can be used very well and easily
in food engineering and technology.  eir solutions are speci ed in four parts, of which those of the type are those that
have an application in the present study.  e Bessel EDOPO was solved in its four possibilities, in which the values and
behaviors are given in tables and graphs in detail.  e corresponding values were used in the temperature distribution
for cylindrical containers of known dimensions using the equations of heat transfer by conduction, preferably, coming
from the Fourier theory, facilitating the improvement, modi cation, and design of new processes.  e results of the
temperature distribution were calculated by the respective equations and the results obtained were satisfactorily used in
the development of the work.
Keywords: Bessel di erential equation – values of
)
(xJ
n
– temperature distribution in cylindrical containers – solids –
sterilization
Biotempo (Lima)
doi:10.31381/biotempo.v17i2.3323
https://revistas.urp.edu.pe/index.php/Biotempo
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RESUMEN
La expresión de Bessel es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (EDOPO), cuyas soluciones son esféricas
y pueden resolverse por los métodos de Frobenius, series y coecientes indeterminados; cuyos valores se pueden utilizar
muy bien y con facilidad en la ingeniería y tecnología de los alimentos. Sus soluciones se particularizan en cuatro partes,
de las cuales las del tipo
)(xJ
n
son las que tienen una aplicación en el presente estudio. La EDOPO de Bessel fue resuelta
en sus cuatro posibilidades, donde los valores y comportamientos se proporcionan en tablas y grácas en detalle. Los
valores correspondientes de
)(xJ
n
se usaron en la distribución de temperatura para envases cilíndricos de dimensiones
conocidas usando las ecuaciones de transferencia de calor por conducción, preferentemente, proveniente de la teoría
de Fourier; facilitando mejorar, modicar y diseñar nuevos procesos. Los resultados de la distribución de temperatura
fueron calculados por las ecuaciones respectivas y los resultados obtenidos fueron empleados satisfactoriamente en el
desarrollo del trabajo.
Palabras clave: Ecuación diferencial de Bessel – esterilización de alimentos sólidos – distribución de temperatura en
envases cilíndricos – valores de
)(xJ
n
INTRODUCCIÓN
Según Kreyszig (2016), Friedrich Wilhelm Bessel, nació
en Minden en el año 1746 y murió en Konigsberg en
el año 1846. Fue un eminente astrónomo alemán, que
se inició como aprendiz en una empresa comercial,
estudiando astronomía por su cuenta en su tiempo libre.
Más adelante llegó a ser asistente de un observatorio
particular y nalmente director del nuevo observatorio de
Königsberg, cuyos ensayos sobre las funciones de Bessel
(fechado en 1824) se publicaron en 1826.
La transferencia de calor en estado no estacionario
nos permite predecir las velocidades de enfriamiento
y calentamiento de productos de diferentes tipos de
geometrías, con objeto de estimar el tiempo requerido para
alcanzar ciertas temperaturas deseadas en la ingeniería de
procesamiento de los alimentos; dando lugar a que para la
transferencia de calor se requiere la conductividad térmica
del mismo, en virtud que el desconocimiento de esta
importante propiedad térmica conlleva a un ineciente
control de proceso (Huamán & Ancco, 2018; Ding et al.,
2021; Welch et al., 2021).
Las funciones de Bessel son de primera especie y orden
n, de segunda especie y orden n, funciones modicadas
de Bessel de primera especie y orden n, y funciones
modicadas de Bessel de segunda especie y orden n.
Además, se sostiene que los diversos problemas de la
ciencia, ingeniería, física y múltiples aplicaciones de
la matemática requieren de soluciones verdaderas y
semejantes a la ecuación diferencial de Bessel (Murray,
2018; Cruz & Ševčovič, 2020; Dehestani et al., 2020;
Izadi & Cattani, 2020), cuya forma es:
00)( 222 =+
+
pypxyxyx
… (1)
Las soluciones de la anterior ecuación se llaman funciones
de Bessel de orden n. Se llaman funciones de Bessel a las
soluciones de la siguiente ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden, en su forma estándar:
00)1(
1
2
2
=+
+
py
x
p
y
x
y
… (2)
Esta ecuación es aplicable en numerosos problemas
de las matemáticas, de astronomía, física, ingeniería
de los procesos, ingeniería mecánica y en electrónica
principalmente. Su aplicación en matemática, de la
ecuación de Bessel, es para resolver la ecuación diferencial
de Legendre y de Laguerre; en física, en la Teoría de
las super cuerdas y deformación de materiales; en la
ingeniería de los procesos, para evaluar la transferencia de
calor y masa y, en la difusión molecular de partículas; por
citar algunos ejemplos.
Las técnicas de procesamiento térmico son ampliamente
utilizadas para mejorar la calidad y seguridad de los
alimentos y a su vez extender la vida útil de los alimentos;
complementando a su vez que el proceso térmico al que son
sometidos los alimentos se compone de dos operaciones
elementales: el calentamiento y el enfriamiento (Arboleda
et al., 2016).
Bessel Equation in Food Engineering
271
Las ecuaciones diferenciales de Bessel se aplican en
problemas sobre oscilaciones, campos eléctricos,
conducción de calor, dinámica de uidos, etc., en
la mayoría de los casos cuando el problema muestra
simetría cilíndrica; así como también menciona que uno
de los métodos más empleados para resolver la ecuación
diferencial de Bessel es el de Frobenius (Murray, 2018), al
sustituir una serie de la forma:
)0(
0
0
)(
=
=
+
axay
m
rm
mx
… (3)
La ecuación diferencial de Bessel se puede determinar
mediante cálculos operacionales analíticos, los cuales
se pueden representar grácamente, indicando de esta
manera el comportamiento de dichas funciones (Marín,
2007).
Es de gran importancia contar con un diseño correcto del
proceso térmico, ya que esto permite controlar las pérdidas
de humedad, denir las características organolépticas
deseadas, garantizar la seguridad del producto y tener
un procesos con un rendimiento adecuado para la
comercialización del mismo; en virtud que el proceso de
calentamiento le imprime al producto atributos especiales
como mejor sabor, potabilidad, textura, extensión de
la durabilidad y modicaciones favorables del color
(ippareddi & Sánchez, 2016).
Los diversos problemas de la ciencia, ingeniería, física
y múltiples aplicaciones de la matemática, a diferentes
campos del saber humano, requieren de soluciones
similares o semejantes a la ecuación diferencial de Bessel
(Abramovwitz, 2013) cuya forma es:
00)(
222
=+
+
nnxyxyx
… (4)
Las soluciones de la anterior ecuación se llaman funciones
de Bessel de orden n. Según Kreyszig (2016) formula las
soluciones de la ecuación de Bessel de la siguiente forma:
… (5)
Según Simmons (2018), plantea las fórmulas de
recurrencia de las funciones de Bessel, que se listan a
continuación:
)()(
2
)( 11 xJxJ
x
n
xJ nnn + += … (6)
{ }
)()(
2
1
)( 11 xJxJxJ nnn + =
… (7)
… (8)
)()()(
1xxJxnJxxJ nnn
= … (9)
xJ xJ nJ
xJ nJ xJ
{ }
)()( 1xJxxJx
dx
d
n
n
n
n
=
… (10)
{ }
)()( 1xJxxJx
dx
d
n
n
n
n
+
=
… (11)
Las funciones de Bessel
)(xY
nsatisfacen idénticas
relaciones; donde las dicultades de dicha ecuación
diferencial, radican en que tiene variantes de dicultad
mayor e inclusive, presenta, tres modicaciones en su
solución, las mismas que se mencionan (Spiegel, 2011).
1. La función de Bessel de primera clase, Jn(x), de orden
n se dene como:
dx
dx
… (12)
… (13)
2. Función de Bessel de Segunda Clase, Yn(x), de orden n se dene como:
… (14)
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3. La función modicada de Bessel de primera clase y orden n, In(x), se dene como:
(15)
4. La función modicada de Bessel de segunda clase de orden, Kn(x), se dene como:
=
=
,....3,2,1,0
)()(
2
,.....3,2,1,0
)()(
2
)(
n
senn
xIxI
lím
n
senn
xIxI
xk
pp
nn
n
π
π
π
π
… (16)
El objetivo del presente estudio fue aplicar las soluciones
de la ecuación diferencial de Bessel en los perles de
distribución de temperatura durante los procesos de
calentamiento de alimentos envasados herméticamente
y de forma cilíndrica; así como determinar el
comportamiento de las soluciones de la misma ecuación
y representarlos grácamente.
MATERIALES Y MÉTODOS
Materiales
La información recolectada fue en base a bibliotecas
especializadas y consultas a especialistas en el área de
matemática aplicadas y modelamiento matemático
experimental en procesos. En seguida el método a emplear
fue el método deductivo y demostrativo, considerando
las teorías y fundamentos matemáticos necesarios que
conduzcan a la solución de la acusación de Bessel. Para
realizar la parte analítica, fue necesario hacerlo por los
fundamentos analíticos de la derivada y los innitesimales
si fuese necesario.
Para realizar el comportamiento de las funciones de
Bessel de la forma
)(xJ
p
, así como de su velocidad
y aceleración fue necesario recurrir a algún programa
computacional o software que graque las funciones
de Bessel y sus derivadas para observar sus respectivos
comportamientos. Se consideró la ecuación diferencial de
Friedrich Wilhelm Bessel:
… (1)
y el método de solución adecuada para determinar las
funciones respectivas.
Instrumentos, equipos y accesorios
Se usó un equipo computacional y/o informático
convencional, siendo necesario el uso de un software
de simulación e interpretación de datos, tales como el
ESTHATGRAFIC y MAPLE 12, los que nos brindaron
las grácas, representación y comportamiento de las
funciones de Bessel.
Protocolo
En cuanto a las bases del diseño, esta se fundamentó
en ciencias básicas e intermedias, como la matemática
aplicada a la ingeniería de los procesos alimentarios,
física e inclusive a la matemática misma. La investigación
se basó en el desarrollo adecuado y satisfactorio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, las
cuales brindan y ofrecen una valiosa ayuda para estimar
cálculos en la ingeniería de los procesos alimentarios
(Jenson & Jereys, 2015).
Con respecto a las características y especicaciones del
producto a obtener, las funciones de Bessel sirvieron para
predecir y analizar el comportamiento de los fenómenos
naturales de problemas prácticos del ámbito del saber
humano, la transferencia de calor y el ujo de uidos;
enfatizando que las ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer y segundo orden facilitaron de manera decisiva
en el balance materia y de transferencia de calor en los
procesos de calentamiento de los alimentos enlatados
(Himmelblau, 2011). Así mismo, las funciones de Bessel y
sus respectivas derivadas se presentaron en forma de tablas
y/o relación de funciones esféricas. El comportamiento de
las funciones de Bessel y su aplicación en la ingeniería de
los alimentos fue realizado de acuerdo con la transferencia
de calor por conducción, según la ley de Fourier y, los
datos obtenidos se aplicaron para envases cilíndricos que
Bessel Equation in Food Engineering
273
contiene cierto alimento envasado, es decir una conserva,
cuyas dimensiones de envases pueden ser (307x113),
(408x502) y otras dimensiones (Welty, 2018).
La distribución de temperatura para una placa innita
estuvo conformada por una serie de términos de
funciones senoidales y cosenoidales (siendo no necesarios
soluciones de la ecuación de Bessel) y, que la distribución
de temperatura para un cilindro nito está dada por
una serie de términos de las soluciones de la ecuación
de Bessel (Himmelblau & Bischo, 2017; Sepúlveda &
Barboza-Cánovas, 2017), siendo necesario las soluciones
de la ecuación de Bessel. La transferencia de calor por
conducción es un proceso complejo, difícil y de gran
versatilidad que, para su cuanticación, descripción y
entendimiento se tiene que tomar datos de procesos bien
denidos desde un punto de vista la transferencia de
calor y masa, así como, se debe acotar las temperaturas de
trabajo, entre el ambiente y la de esterilización (mayor de
100 °C); así como que el calentamiento posee funciones
importantes entere las que se encuentran el desarrollo
de sabor y la estructura del alimento (Manrique, 2017;
Bakalis, 2019).
Aspectos éticos: Los autores señalan que se cumplieron
todos los aspectos éticos a nivel nacional e internacional.
RESULTADOS
A continuación se presentan los valores de la función de
Bessel
)(xJ
n
,
)(xYn
,
)(xIn
y
)(xKn
(tablas 1 al
4), calculadas por sus respectivas ecuaciones. Los valores
correspondientes a cada una de las funciones fueron
gracados (guras 1 a la 4); respectivamente. Los valores
de
)(xJ
n
fueron utilizados para el estudio.
Tabla 1. Valores de la función de Bessel:
)(xJ
n
.
x Jo(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x)
0,0 100,000,000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
0,5 0,93846981 0,24226846 0,03060402 0,00256373 0,00016074 (-6)8,05363
1,0 0,76519769 0,44005059 0,11490348 0,01956340 0,00247660 0,00024476
1,5 0,51182767 0,55793651 0,23208767 0,06096400 0,01176810 (-3)1,79942
2,0 0,22389078 0,57672481 0,35283403 0,12894300 (-2)3,39960 (-3)7,0396
2,5 -0,04838378 0,49709410 0,44605906 0,21660000 (-2)73782 (-2)1,95016
3,0 -0,26005195 0,33905896 0,48609126 0,30906300 0,13203000 (-2)4,3028
3,5 -0,38012774 0,13737753 0,45862918 0,38677000 0,20440500 (-2)8,0442
4,0 -0,39714981 -0,06604333 0,36412815 0,43017100 0,28113010 0,13209011
4,5 -0,32054251 -023106043 0,21784898 0,42470400 0,34842300 0,19471500
5,0 -0,17759677 -0,32757914 0,04656512 0,36483100 0,39123010 0,26114000
5,5 -0,00684387 -0,34143821 -0,11731548 0,25611800 0,39671700 0,32092500
6,0 0,15064526 -0,27668386 -0,24287321 0,11476800 0,35764000 0,36209001
6,5 0,26009461 -0,15384130 -0,30743039 -0,03534660 0,27480300 0,37356500
7,0 0,30007927 -0,00468282 -0,30141722 -0,16755600 0,15780000 0,74790010
7,5 0,26633966 0,13524843 -0,23027341 -0,25806100 0,02382470 0,28347400
8,0 0,17165081 0,23463635 -0,11299172 -0,29113200 -0,10536000 0,18577001
8,5 0,04193925 0,27312196 0,02232474 -0,26261600 -0,20770100 0,0613300
9,0 -0,09033361 0,24531179 0,14484734 -0,18093500 -0,26547000 -0,05504010
9,5 -0,19392875 0,16126443 0,22787915 -0,06531530 -0,26913100 -0,16132100
10,0 -0,24593576 0,04347275 0,25463031 0,05837940 -0,21960000 -0,23406001
11 -0,17119030 -0,17678530 0,13904752 0,22734800 -0,01504001 -0,23829001
12 0,04768931 -0,22344710 -0,08493049 0,19513700 0,18250001 -0,07347000
13 0,20692610 -0,07031805 -0,21774426 0,00331982 0,21928002 0,13162002
14 0,17107348 0-13337515 -0,15201988 -0,17680900 0,07624001 0,22038000
15 -0,01422447 0-20510404 0-04157168 -0,19401800 -0,11918001 0,13046001
50 0,05581233 -0,09751183 -0,05971280 0,09273480 0,07084098 -0,08140025
100 0,01998585 -0,07714535 -0,02152876 0,07628420 0,02610581 -0,07419574
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Tabla 2. Valores de la función de Bessel:
)(xYn
.
X Yo(x) Y1(x) Y2(x) Y3(x) Y4(x) Y5(x) Y6(x)
0,0 -¥ -¥ -¥ -¥ -¥ -¥
0,5 -0,444519 -1,471472 -5,441371 (-1)-4,2060 (2)-4,99273 (3)-7,9463 (5)-1,58427
1,0 0,088257 -0,781213 -1,650683 -5,821520 (1)-3,32784 (-2)-2,60406 (3)-2,57078
1,5 0,382449 -0,412309 -0,932194 -2,073540 -7,361970 -37,1903 (2)-2,40573
2,0 0,510376 -0,107032 -0,617408 -1,127780 -2,765940 -9,93599 (1)-1,38875
2,5 0,498070 0,145918 -0,381336 -0,756055 -1,43320 -3,83018 (1)-1,38875
3,0 0,376850 0,324674 -0,160400 -0,538542 -0,916683 -1,90595 -5,43647
3,5 0,1189022 0,410188 0,045371 -0,358335 -0,659661 -1,14946 -2,62451
4,0 -0,016941 0,397926 0,215304 -0,182022 -0,488937 -0,795851 -1,50069
4,5 -0,194705 0,300997 0,328482 (-2)-9,0137 -0,340500 -0,596319 -0,984654
5,0 -0,308518 0,1447863 0,367663 0,146267 -0,0192142 -0,453695 -0,715247
5,5 -0,339481 -0,023758 0,33081 0,264370 -0,0424375 -0,326097 -0,550467
6,0 -0,288195 -0,175010 0,229858 0,328249 0,098391 -0,197061 -0,426824
6,5 -0,173242 -0,274091 0,088907 0,328803 0,214604 -0,064675 -0,314104
7,0 -0,025950 -0,302667 -0,060527 0,268081 0,290310 0,063702 -0,199307
7,5 0,117313 -0,259129 -0,186414 0,159708 0,314180 0,175418 -0,08029
8,0 0,223521 -0,158060 -0,263037 0,026542 0,282943 0,256401 0,037558
8,5 0,270205 -0,026169 -0,276362 -0,103884 0,203032 0,294974 0,143995
9,0 0,249937 0,104315 -0,226756 -0,205095 0,090026 0,285118 0,226772
9,5 0,171211 0,203180 -0,128436 -0,257258 -0,034043 0,228590 0,274664
10,0 0,055671 0,249015 -0,005868 -0,251363 -0,144950 0,135403 0,280353
11 -0,168847 0,163706 0,198612 -0,091483 -0,248512 -0,089253 0,167373
12 -0,225237 0,057099 0,215721 0,129006 -0,151218 -0,229818 -0,040297
13 -0,078208 -0,210081 0,045888 0,224201 0,057590 -0,188761 -0,20279
14 0,127093 -0,166645 -0,150999 0,123502 0,203929 (-2)-0,6972 -0,208908
15 0,205464 0,021075 -0,202654 -0,075115 0,172609 0,167173 -0,061160
50 (-2)-2,0371 (-2)-5,6796 (-2)9,5793 (-2)6,4459 (-2)-8,8058 (-2)-7,8548 (-2)7,2348
100 (-2)-2,0372 (-2)-2,0372 (-2)7,6837 (-2)2,3446 (-2)-7,5430 (-2)-2,9480 (-2)7,2482
Tabla 3. Valores de la ecuación modicada de Bessel
)(xIn
.
x I0(x) I1(x) I2(x) I3(x) I4(x) I5(x) I6(x)
0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,2 1,0100 0,1005 0,0050 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000
0,4 1,0404 0,2040 0,0203 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000
0,6 1,0225 0,3137 0,0464 0,0046 0,0003 0,0000 0,0000
0,8 1,1665 0,4329 0,0844 0,0111 0,0011 0,0001 0,0000
1,0 1,2661 0,5652 0,1357 0,0222 0,0027 0,0003 0,0000
1,2 1,3937 0,7147 0,2026 0,0394 0,0058 0,0007 0,0001
1,4 1,5534 0,8861 0,2875 0,0645 0,0110 0,0015 0,0015
1,6 1,7500 1,0850 0,3940 0,0999 0,0194 0,0030 0,0004
1,8 1,9896 1,3170 0,5260 0,1482 0,0321 0,0056 0,0008
2,0 2,2796 1,5910 0,6890 0,2127 0,0507 0,0098 0,0016
2,2 2,6291 1,9140 0,8891 0,2976 0,0773 0,0164 0,0029
2,4 3,0493 2,2980 1,1341 0,4079 0,1145 0,0263 0,0051
2,6 3,5533 2,7550 1,4337 0,5496 0,1654 0,0408 0,0085
2,8 4,1573 3,3010 1,7994 0,7305 0,2341 0,6170 0,0138
Continúa Tabla 3
Bessel Equation in Food Engineering
275
3,0 4,8808 3,9534 2,2452 0,9598 0,3257 0,0912 0,0217
3,2 5,7472 4,7343 2,7883 0,2489 0,4466 0,1323 0,0333
3,4 6,7848 5,6700 3,4495 1,6119 0,6049 0,1886 0,0502
3,6 8,0277 6,7930 4,2540 2,0661 0,8105 0,2651 0,0741
3,8 9,5169 8,1400 5,2326 2,6326 1,0758 0,3678 0,1078
4,0 11,3019 9,7590 6,4222 3,3373 1,4163 0,5047 0,1545
4,2 13,4425 11,710 7,8684 4,2119 1,8513 0,6857 0,2186
4,4 16,0104 140,050 9,6258 5,2955 2,4047 0,9234 0,3060
4,6 19,0926 16,860 11,7611 6,6355 3,1060 1,2338 0,4239
4,8 22,7937 20,250 14,3550 8,2903 3,9921 1,6369 0,5819
5,0 27,2399 24,3401 17,5056 10,3312 5,1082 2,1580 0,7923
5,2 32,5836 29,250 21,3319 12,8451 6,5106 2,8288 1,0707
5,4 39,0088 35,180 25,9784 15,9388 8,2686 3,6890 1,4371
5,6 46,7376 42,330 31,6203 19,7429 10,4678 4,7884 1,9171
5,8 56,0381 50.950 38,4704 24,4148 13,2137 6,1890 2,5430
6,0 67,2344 61,340 46,7871 30,1505 16,6366 7,9685 3,3558
6,2 80,7179 73,890 56,8838 37,1867 20,8966 10,2233 4,4074
6,4 96,9616 89,030 69,1410 45,8130 26,1913 13,0738 5,7634
6,6 116,5370 107,30 84,0208 56,3830 32,7635 16,6697 7,5064
6,8 140,1360 129,40 102,0840 69,3283 40,9119 21,1966 9,7404
7,0 168,5940 156,000 124,0110 85,1755 51,0038 26,8855 12,5959
7,2 202,9210 188,300 150,6300 104,5670 63,4903 34,0224 16,2369
7,4 244,3410 227,20 182,9420 128,2870 78,9258 42,9621 20,8689
7,6 294,3320 274,20 222,1680 157,2920 97,9907 54,1437 26,7490
7,8 354,6850 331,10 269,7870 192,7470 121,5200 68,1108 34,1987
8,0 427,5640 399,87 237,5960 236,0750 150,5390 85,5358 43,6197
Tabla 4. Valores de la ecuación modicada de Bessel:
)(xKn
.
x K0(x) K1(x) K2(x) K3(x) K4(x) K5(x) K6(x)
0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
0,2 1,7527 4,7760 49,5124 995,0250 29900,2 1197000 59880150
0,4 1,1145 2,1844 12,0363 122,5470 1850,25 37127,5 930037
0,6 0,7775 1,3028 5,1203 35,4382 359,502 4828,80 80839,50
0,8 0,5653 0,8618 2,7198 14,4608 111,176 1126,22 14188,90
1,0 0,4210 0,6019 1,6248 7,1013 44,2324 360,961 3653,840
1,2 0,3185 0,4346 1,0428 3,9107 20,5963 141,219 1197,420
1,4 0,2437 0,3208 0,7020 2,3265 10,6728 63,3141 462,160
1,6 0,1880 0,2406 0,4887 1,4625 5,9731 31,3281 201,7740
1,8 0,1459 0,1826 0,3488 0,9578 3,5416 16,6984 96,3107
2,0 0,1139 0,1399 0,2538 0,6474 2,1959 9,4311 49,3512
2,2 0,0893 0,1079 0,1874 0,4485 1,4107 5,5782 26,7663
2,4 0,0720 0,0837 0,1400 0,3170 0,9326 3,4257 15,2061
2,6 0,0554 0,0653 0,1056 0,0078 0,6312 2,1701 8,9776
2,8 0,0438 0,0511 0,0803 0,1656 0,4358 1,4109 5,4747
3,0 0,0347 0,0402 0,0615 0,1222 0,3059 0,9378 3,4318
3,2 0,0276 0,3160 0,0474 0,0909 0,2177 0,6352 2,2027
3,4 0,2200 0,0250 0,0367 0,0681 0,1569 0,4373 1,4431
3,6 0,0170 0,0198 0,0285 0,0515 0,1143 0,3054 0,9625
3,8 0,0139 0,0157 0,0222 0,0391 0,0840 0,2059 0,6522
4,0 0,0112 0,0125 0,0174 0,0299 0,0622 0,1543 0,4481
Continúa Tabla 3
Continúa Tabla 4