Antioxidant capacity of Vasconcellea candicans
183
ISSN Versión impresa: 1992-2159; ISSN Versión electrónica: 2519-5697
Biotempo, 2023, 20(2), jul-dec.: 183-196.
ORIGINAL ARTICLE / ARTÍCULO ORIGINAL
QUANTIFICATION OF THE ALKALINITY OF NATURAL WATER BY
APPLYING BERNOULLI NUMBERS AND SIMPSON’S APPROXIMATE
INTEGRAL
CUANTIFICACIÓN DE LA ALCALINIDAD DEL AGUA NATURAL
APLICANDO LOS NÚMEROS DE BERNOULLI Y LA INTEGRAL
APROXIMADA DE SIMPSON
Olegario Marín-Machuca1*, Fredy Aníbal Alvarado-Zambrano2, Jessica Blanca Vargas-Ayala3,
Julia Iraida Ortiz-Guizado4, Luis Germán Jáuregui-del-Águila5, Ricardo Arnaldo Alvarado-Zambrano6,
Ulert Marín-Sánchez7, José Eduardo Candela-Díaz8, Alexander Quispe-Quispe9 & Obert Marín-Sánchez10
1 Escuela Profesional de Ingeniería Alimentaria, Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura
y Grupo de Investigación en Saneamiento Ambiental (GISA), Escuela Universitaria de Posgrado (EUPG). Universidad
Nacional Federico Villarreal. Lima, Perú.
2 Facultad de Ingeniería en Industrias Alimentarias, Laboratorio de Análisis Sensorial de Alimentos. Universidad Nacional
Santiago Antunez de Mayolo. Ancash, Perú.
3 Escuela Profesional de Ingeniería en Acuicultura. Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura.
Universidad Nacional Federico Villarreal. Lima Perú.
4
Facultad de Ingeniería, Departamento Académico de Ciencias Básicas. Universidad Nacional José María Arguedas. Apurímac, Perú.
5 Escuela Profesional de Ingeniería Alimentaria, Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura.
Universidad Nacional Federico Villarreal. Lima, Perú.
6 Facultad de Industrias Alimentarias. Departamento de Ciencia y Tecnología. Universidad Nacional Agraria de la Selva.
Tingo María, Perú.
7
Dirección General de Asuntos Ambientales de Industria (DGAAMI). Ministerio de la Producción (PRODUCE). Lima, Perú.
8 Laboratorio de Tecnología de Alimentos. Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura.
Universidad Nacional Federico Villarreal. Lima, Perú.
9 Facultad de Ingeniería Ambiental y Sanitaria. Universidad Nacional San Luis Gonzaga. Ica, Perú.
10 Escuela Profesional de Ingeniería Ambiental. Facultad de Ingeniería y Gestión. Universidad Nacional Tecnológica de Lima
Sur. Lima, Perú.
* Corresponding author: omarin@unfv.edu.pe
Olegario Marín-Machuca: https://orcid.org/0000-0002-0515-5875
Fredy Aníbal Alvarado-Zambrano: https://orcid.org/0000-0002-7213-656X
Jessica Blanca Vargas-Ayala: https://orcid.org/0000-0002-8889-0954
Julia Iraida Ortiz-Guizado: https://orcid.org/0000-0001-5626-7992
Luis Germán Jáuregui-del-Águila: https://orcid.org/0009-0005-0062-8759
Ricardo Arnaldo Alvarado-Zambrano: https://orcid.org/0000-0002-5060-6428
Ulert Marín-Sánchez: https://orcid.org/0000-0003-2487-782X
Biotempo (Lima)
doi:10.31381/biotempo.v20i2.5945
https://revistas.urp.edu.pe/index.php/Biotempo
Este artículo es publicado por la revista Biotempo de la Facultad de Ciencias Biológicas, Universidad Ricardo Palma, Lima, Perú. Este es un artículo de acceso
abierto, distribuido bajo los términos de la licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional (CC BY 4.0) [https:// creativecommons.org/licenses/
by/4.0/deed.es] que permite el uso, distribución y reproducción en cualquier medio, siempre que la obra original sea debidamente citada de su fuente original.
Facultad de Ciencias Biológicas de la
Universidad Ricardo Palma
(FCB-URP)
Revista Biotempo
Volumen 20 (2) Julio-Diciembre 2023
ISSN Versión Impresa: 1992-2159; ISSN Versión Electrónica: 2519-5697
Revista Biotempo: ISSN Versión Impresa: 1992-2159; ISSN Versión electrónica: 2519-5697 Marín-Machuca et al.
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José Eduardo Candela-Díaz: https://orcid.org/0000-0002-4198-5745
Alexander Quispe-Quispe: https://orcid.org/0000-0002-3822-6959
Marín-Sanchez, Obert: https://orcid.org/0000-0003-2912-1191
ABSTRACT
The calculation of Bernoulli numbers is because there are numerous mathematical expressions and environmental en-
gineering phenomena in which they can be applied. Although it is true that, with the aid of the computer and the use
of programs, there are a great number of them; in the current references they are published in a reduced number and,
therefore, when using them, unsatisfactory approximations are made. e purpose was to calculate the first 20 Bernoulli
numbers, apply them to mathematics (
∫
ln(cosx)dx) and environmental engineering, quantifying the alkalinity of natural
water in the form of calcium carbonate (CaCO3)(mg/l ), measuring carbon dioxide (CO2). ere is a great variety of re-
lations containing Bernoulli numbers presented in several practical applications of mathematics. e best relationships
used here are binomial developments. Employing the appropriate equations, the Bernoulli numbers were calculated me-
chanically, arriving to determine the target number of numbers. Finally, the Bernoulli numbers contribute significantly
to mathematical calculations such as calculating integrals of the type ln(cosx), as well as to applications to environmental
engineering, evaluating the alkalinity of water as calcium carbonate (CaCO3).
Keywords: natural water – alkalinity – Bernoulli numbers – calcium carbonate – integrals
RESUMEN
El cálculo de los números de Bernoulli se fundamenta en que existen numerosas expresiones matemáticas y fenómenos
de la ingeniería ambiental en las que se pueden aplicar. Sí bien es cierto que, con ayuda de la computadora y el uso de
programas, existen gran cantidad de ellos; en las referencias actuales se publican en un número reducido y, por lo tanto, al
emplearlas, se hacen aproximaciones no satisfactorias. El propósito fue calcular los veinte primeros números de Bernoulli,
aplicarlo a la matemática (
∫
ln(cosx)dx) y a la ingeniería ambiental, cuantificando la alcalinidad del agua natural en forma
de carbonato de calcio (CaCO3)(mg/l ), midiendo el dióxido de carbono (CO2). Existe una gran variedad de relaciones
que contienen a los números de Bernoulli presentándose en varias aplicaciones prácticas de la matemática. Las mejores
relaciones utilizadas en esta oportunidad son desarrollos binomiales. Empleando las ecuaciones planteadas y adecuadas,
los números de Bernoulli fueron calculados mecánicamente, llegando a determinar el número de números planteados
como objetivo. Finalmente, los números de Bernoulli contribuyen de forma significativa a cálculos matemáticos como
para calcular las integrales del tipo ln(cosx), así como las a aplicaciones a la ingeniería ambiental, evaluando la alcalinidad
del agua como carbonato de calcio (CaCO3).
Palabras clave: agua natural – alcalinidad – carbonato de calcio – integrales – números de Bernoulli
INTRODUCCIÓN
Benton (1964), y Bronshtein & Semendiaev (2018)
mencionan que los números de Bernoulli provienen de
una familia ligada por varias décadas a la matemática y
a la ingeniería, e incluso llegando a plantear soluciones
a problemas de análisis matemático en el campo de
las ecuaciones diferenciales y su método de solución
(Simmons, 1998). Los números de Euler aparecen
cuando Leonard Euler publica sus obras “geniales” sobre
Introducción al Análisis, Inatitutiones Cálculi Differentialis
y Álgebra (Boyer, 1987).
La dificultad en la determinación de los números de
Bernoulli se fundamenta en que existen fenómenos
científicos e ingenieriles, en los que hay funciones que
relacionan a estos números, y que deben ser analizados,
evaluados e interpretados (Courant & Fritz, 2015). Se
menciona que los números de Bernoulli son un número
muy amplio, pero se publican un número reducido y por
lo tanto se emplean otros tipos de soluciones, como las
técnicas por aproximación. Razón por la cual se justifica
su determinación de los números mencionados. Benton
(1964) menciona que Jacobo Bernoulli publicó su
libro denominado Ars Conjectandi, donde se encuentra
las fórmulas para el cálculo de las sumas de potencias
de exponente entero y positivo de los n primeros
números naturales. Además, los números Bernoulli son
todos positivos y a partir del cuarto crecen sin límite o
indefinidamente, de tal manera que se puede plantear la
Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
185
relación
í
= ∞(
−1) = 2
2
(Dover Publications, 1965).
Los números de Bernoulli fueron utilizados por primera
vez por Moivre y Euler (Vera, 1960; Fernández, 2012). Los
números de Bernoulli tienen aplicaciones prácticas a las
ciencias matemáticas en diversos campos de la matemática
y algunas aplicaciones a la ingeniería ambiental y
mencionando que uno de los once descendientes se marchó
a Basilea para continuar con el legado de la descendencia
de la familia (Marín-Machuca, 2003; Bronshtein &
Semendiaev, 2018; Komatsu & Pita-Ruiz, 2020; Küçükoğlu
et al., 2020; Kim et al., 2022). Se menciona a su vez que los
números de Bernoulli son publicados por primera vez en el
año de 1713, en la obra titulada Ars Conjectandi, después
de ocho años de haberse producido la muerte de su autor,
Jacobo Bernoulli (Fernández, 2012; Child, 2017).
Con respecto a los números de Bernoulli las relaciones
en forma de series son las que contienen a estos números
(Martínez et al., 2014). Los números de Bernoulli no
tienen relación directa con la ecuación de Bernoulli y
dicha ecuación, con respecto al flujo de fluidos, presenta
ciertas dificultades para ser comprendida y aplicada por
los estudiantes de materias que describen fenómenos de
flujo de fluidos o comportamientos de las propiedades del
agua, tanto químicas y fisicoquímicas y es la capacidad
del agua para neutralizar ácidos fuertes al observar las
curvas de titulación (Vega et al., 2017).
Uno de los parámetros para evaluar la calidad del agua
natural es la alcalinidad que está provocada por la
presencia de hidróxidos, carbonatos, y bicarbonatos de
elementos como el calcio, el magnesio, el sodio, el potasio,
o el amoniaco; y de entre todos ellos los más comunes son
el bicarbonato de calcio (Ca(HCO3)2) y el bicarbonato
de magnesio (Mg(HCO3)2), teniendo presente que la
alcalinidad ayuda a regular los cambios de pH producidos
por la adición ácidos (Vega et al., 2017).
La alcalinidad es una medida de la capacidad del agua
natural para neutralizar ácidos; que al examinar las curvas
de titulación de un ácido fuerte, el ácido sulfúrico (H2
SO4) y de uno relativamente débil, ácido carbónico
(H2 CO3(CO2)) se observa que debajo de 4,5 de pH la
acidez se debe a la presencia de un ácido mineral fuerte
(H2 SO4), en tanto que en un rango de pH entre 4,5 y
8,5, el (H2 CO3(CO2)) es la fuente de acidez que tiende
a neutralizar la base fuerte, hidróxido de sodio (NaOH)
y los iones carbonatados de los diferentes tipos de aguas
(Sierra & Gómez, 2020). En las aguas minerales, las
fuentes principales de acidez son el dióxido de carbono
(CO2) provenientes de la atmósfera y de la oxidación
bacteriana de la materia orgánica, la acidez mineral de
los residuos industriales, del drenaje de las minas y de la
lluvia ácida; aclarando que las aguas ácidas no constituyen
una amenaza para la salud humana, pero causan gran
preocupación por su capacidad de corrosión y porque
trastornan las condiciones ambientales de los lagos (Sierra
& Gómez, 2020).
Existen casos en que las concentraciones de algunas
sustancias de los diferentes tipos de agua se comportan
como funciones en series de potencias; dando lugar a que,
en la cuantificación de sustancias químicas, tanto alcalinas
como ácidas, se utilicen los números de Bernoulli, debido
a que estos procesos son descendentes con carácter
asintótico como los diferentes comportamientos de la
alcalinidad del agua (Sierra & Gómez, 2020).
Los números de Bernoulli representan procesos de
decadencia asintótica en cuanto a la conservación de la
energía mecánica y otras aplicaciones; permitiendo de
forma analítica y experimental determinar los diferentes
parámetros como tiempo de vaciado del tanque de
almacenamiento, área de las tuberías, velocidad del flujo
y carga de velocidad (Zamora et al., 2020).
Es muy importante los números de Bernoulli en procesos de
disminución asintótica, siendo una adecuada estrategia para
resolver situaciones problemáticas de complejas transiciones
cortas, teniendo en cuenta que las pérdidas de fricción o
rozamiento resultan despreciables (Urbina et al., 2022).
El propósito ha sido determinar y evaluar los veinte
primeros números de Bernoulli, presentarlos cada uno de
ellos en forma de tabla y aplicarlos en el cálculo de las
integrales y en la determinación de la alcalinidad del agua
natural.
MATERIALES Y MÉTODOS
Series de los números de Bernoulli. Se ha encontrado
relaciones que contienen a los números de Bernoulli, las
mismas que se presentan a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
):
13.
14.
15.
16.
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
):
13.
14.
15.
16.
Protocolo para calcular los números de Bernoulli. La
expresión importante que relaciona a los números de Ber-noulli y usada en esta oportunidad es la señalada por la
literatura científica (Fernández, 2012):
…
(1)
Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
187
…
(1)
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Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
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Teniendo en cuenta que Spiegel & Ribero (1970),
presentaron la Tabla 1 se comprueba lo obtenido y se
continúa con el protocolo para calcular la alcalinidad del
agua natural.
Tabla 1. Algunos de los primeros números de Bernoulli.
n Bn
1 1/6
2 1/30
3 1/42
4 1/30
5 5/66
6 691/2 730
7 7/6
8 3 617/510
(Continúa Tabla 1)
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Protocolo para calcular la alcalinidad del agua natural
por la integral aproximada de Simpson.
Los métodos más empleados de ellos se basan en el
reemplazo de la función integrando por una suma finita,
dividiendo en n partes iguales el intervalo de integración:
… (2)
… (3)
Se puede considerar que:
Aspectos éticos
Los autores señalan que se cumplieron todos los aspectos
éticos a nivel nacional e internacional.
RESULTADOS
Realizado el cálculo (mostrados anteriormente) de los 20
primeros números de Bernoulli presentados en la Tabla
2; se procedió a la aplicación evaluado la alcalinidad
del agua. La primera aplicación corresponde a algunas
integrales, como la integral de ln (cosx).
Tabla 2. Los veinte (20) primeros números de Bernoulli.
n Bn
1 1/6
2 1/30
3 1/42
∫ = + −
… (4)
( b - a). Después se reemplaza en la fórmula de la parábola
(o de Simpson), haciendo que h = (b - a ) / n . El valor
de n debe ser par y múltiplo de 4, donde a y b son
los valores inferior y superior de integración, en las que
se usaron las tres fórmulas de Simpson (Bronshtein &
Semendiaev, 2018):
n Bn
4 1/30
5 5/66
6 691/2 730
7 7/6
8 3 617/510
9 43 867/798
10 174 611/330
11 854 513/138
12 236 364 091/2 730
13 8 553 103/6
14 23 749 461 029/870
15 8 615 841 276 005/14 322
16 7 709 321 041 217/510
17 2 577 687 858 367/6
18 26 315 271 553 053 477 373/1 919 190
19 2 929 993 913 841 559/6
20 261 082 718 496 449 122 051/13 530
n Bn
9 43 867/798
10 174 611/330
11 854 513/138
12 236 364 091/2 730
Aplicación a algunas integrales:
…(a)
(b)
(c)
(d)
...(e)
(Continúa Tabla 1)
Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
191
Aplicación de los números de Bernoulli (Bn).
Para la expresión
∫ln()
(e); se tiene:
…(a)
(b)
(c)
(d)
...(e)
• Para
• Para: y
• Para: , y
• Para: , , y
• Para: , , , y .
• Para: , , , , y .
• Para: , , , , , y
.
• Para: , , , , , ,
y .
(5)
;
y así, sucesivamente; se podría seguir aplicando los núme-
ros de Bernoulli.
Determinación de la alcalinidad del agua natural,
como CaCO2(mg/l), para cantidades relativas de
dióxido de carbono (CO2) en función del pH , con los
6, 10 y 14 primeros números de Bernoulli.
La cantidad relativa del dióxido de carbono (CO2) en
función del pH se ha calculado (para los 6, 10 y 14
primeros números de Bernoulli) aplicando la ecuación
(6) y sus correspondiente factores de rectificación y/o
corrección.
… (6)
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Factores de rectificación y/o correc-
ción. Los tres factores de corrección
(rectificación) están diseñados y formulados tal como siguen.
Velocidad de dióxido de carbono
global, (CO2)G, del agua natural.
El cambio de dióxido de carbono
global, (CO2)G, en función del pH, fue
• .
= −
+
! −
! +
! −
! +
!−
!+…
•
= −
+
! −
! +
! −
! +
!−
!+
!−
!+
!−
!+ ⋯
•
= −
+
! −
! +
! −
! +
!−
!+
!−
!+
!−
!+
!−
!+
!−
!+ ⋯
determinado en el laboratorio de “Análisis y calidad de aguas”,
utilizando el método potenciométrico corroborado y contrastado
por el método gráfico (Rodier, 1998); obteniendo los datos
mostrados en las Tablas 3 y 4.
Tabla 3. Datos de variación de dióxido
de carbono global, d(CO2)G/dt
en
función del pH.
pH d(CO2 )G /dpH
3,2 554,00
3,3 332,00
3,4 199,00
3,5 119,00
3,6 72,00
3,7 43,00
3,8 26,00
3,9 16,00
4,0 10,00
4,1 6,00
4,2 3,60
4,3 2,30
4,4 1,33
d(CO
2
)
G
/dt
= 4758448489 x
e
-4,9984x
pH
Con coeficiente de correlación de
r = -0,9999 ≌ - 1,00
,
,
… (7)
… (8)
… (9)
,
,
… (7)
… (8)
… (9)
,
,
… (7)
… (8)
… (9)
Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
193
Tabla 4. Valores rectificados de la variación del dióxido de carbono (CO2) en función del potencial de hidrógeno (pH),
empleando los 6, 10 y 14 primeros números de Bernoulli.
3,2 73,1233 73,1906 73,1912
3,3 41,2009 41,2627 41,2633
3,4 23,1944 23,2506 23,2510
3,5 13,0440 13,0943 13,0948
3,6 7,3261 7,3707 7,3713
3,7 4,1078 4,1468 4,1474
3,8 2,2980 2,3318 2,3324
3,9 1,2815 1,3104 1,3111
4,0 0,7114 0,7360 0,7366
4,1 0,3924 0,4130 0,4137
4,2 0,2144 0,2315 0,2322
4,3 0,1155 0,1296 0,1303
4,4 0,0609 0,0724 0,0731
Alcalinidad del agua natural como CaC02,(mg/l) con BA , BB y BC .
•
,
,
,
•
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,
•
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,
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DISCUSIÓN
La calidad del agua natural fue determinada mediante
la alcalinidad, propiedad que está provocada por la
presencia de carbonatos y bicarbonatos de elementos
como calcio y magnesio; donde los más comunes son
el bicarbonato de calcio (Ca(HCO3)2) y el bicarbonato
de magnesio (Mg(HCO3)2); respectivamente, y teniendo
presente que la alcalinidad ayuda a regular los cambios de
pH producidos por la adición ácidos y es una medida de
la capacidad del agua para neutralizar ácidos; al examinar
las curvas de titulación de un ácido fuerte como el ácido
sulfúrico (H2 SO4) (Vega et al., 2017).
La alcalinidad del agua natural, en forma de carbonato de
calcio CaCO2(mg / l ), midiendo en cantidades relativas el
dióxido de carbono (CO2) en función del pH se observa
que tienen carácter asintótico (Sierra & Gómez, 2020;
Zamora et al., 2020). El cambio que experimentan las
concentraciones de algunas sustancias, como el dióxido
de carbono (CO2) en aguas naturales en función del
pH tienen carácter asintótico y se comportan como
funciones en series de potencias; dando lugar a que, en la
cuantificación de la alcalinidad se utilicen los números de
Bernoulli (Sierra & Gómez, 2020). El comportamiento
del dióxido de carbono (CO2) en el agua natural que varía
en función del pH muestra un proceso asintótico y la
integral aproximada de Simpson (o parabólico) se puede
utilizar adecuadamente, donde en el procesos final los
valores de la alcalinidad resultan despreciables (Urbina et
al., 2022).
Los números de Bernoulli son la menor relación posible
entre dos números primos entre sí, coincidiendo con lo
que mencionado por la literatura (Vera, 1960; Fernández,
2012), y que los números de Bernoulli tienen numerosas
aplicaciones dentro del campo de la matemática aplicada,
•
,
,
,
•
,
,
,
•
,
,
,
del análisis matemático y de la ingeniería ambiental
(Ruíz, 2016).
Los números de Bernoulli son todos positivos, descienden
hasta el de posición tres y a partir del cuatro crecen
indefinidamente (Dover Publications, 1965). Dentro
de las conclusiones se tiene que la
∫
ln(cosx)dx se puede
representar de forma indefinida por los números de
Bernoulli, en la que todos sus términos tienen signo
negativo, que se pueden observar en la ecuación (5). Se
puede calcular la alcalinidad del agua natural en forma
de CaCO2(mg/ l ), para cantidades relativas de dióxido de
carbono (CO2) en función del pH aplicando los números
de Bernoulli hasta el de posición catorce (14) y aplicando
las formas de las integrales aproximadas de Simpson; los
valores alcalímetros del agua natural empleando los 6, 10
y 14 primeros números de Bernoulli fueron de 12,7015;
12,7445 y 12,7454 CaCO2, (mg/l ); respectivamente. La
variación de dióxido de carbono global, d(CO2)G/dt, en
función del pH es una expresión exponencial, donde
el coeficiente de determinación r2 x 100 = 100%; que
estima, prácticamente, una correlación perfecta.
Una propiedad fundamental del agua natural tal como es
la alcalinidad puede ser calculada en forma de carbonato
de calcio CaCO2, (mg/l ) por medio del dióxido carbono
(CO2) en función del potencial de hidrógeno (pH)
utilizando los números de Bernoulli y aplicando el criterio
de integral aproximada de Simpson.
Author contributions: CRediT (Contributor Roles
Taxonomy)
OMM = Olegario Marín-Machuca
FAAZ = Fredy Aníbal Alvarado-Zambrano
JBVA = Jessica Blanca Vargas-Ayala
Applying Bernoulli numbers and Simpson’s approximate integral
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JIOG = Julia Iraida Ortiz-Guizado
LGJA = Luis Germán Jáuregui-del-Águila
RAAZ = Ricardo Arnaldo Alvarado-Zambrano
UMS = Ulert Marín-Sánchez
JECD = José Eduardo Candela-Díaz
AQQ = Alexander Quispe-Quispe
OMS = Obert Marín-Sánchez
Conceptualization: OMM, OMS, AQQ, JECD
Data curation: RAAZ, OMS, UMS
Formal Analysis: OMM, JECD, AQQ
Funding acquisition: AQQ, JECD, FAAZ
Investigation: OMM, JBVA, OMS
Methodology: OMM, UMS, LGJA
Project administration: UMS, AQQ, JBVA
Resources: JIOG, JBVA, LGJA
Software: JBVA, OMS, JECD
Supervision: OMM, AQQ, JECD, FAAZ
Validation: OMM, JIOG, AQQ
Visualization: OMM, JBVA, LGJA
Writing – original draft: OMM, JBVA, OMS
Writing – review & editing: OMM, UMS, JIOG
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Benton, W. (1964). Enciclopedia Británica. Tomo III.
Incorporated. Impreso en Estados Unidos. USA.
Bronshtein, I., & Semendiaev, R. (2018). Manual de
Matemática para ingenieros y estudiantes. Ed. Mir.
Moscú.
Boyer, C. (1987). Historia de las Matemáticas. Editorial
Alianza S.A.
Courant, R., & Fritz, J. (2015). Series Trigonométricas
en Introducción al cálculo y al análisis matemático.
Editorial Limusa. Vol. 1, Cap. 8.
Child, J. (2017). e early mathematical manuscripts of
Leibnitz. Ed. e Open Publishing Company.
Dover Publications. (1965). Handbook of mathematical
functions with Formulas, Graphs, and Mathematical
Tables. Abramowitz, M., & Irene A. Stegun, I.A.
(eds.).
Fernández, B. (2012). Números de Bernoulli: Un estudio
sobre su importancia, consecuencias, y algunas
aplicaciones en la Teoría de los Números. [Tesis
para obtener el título de Licenciado en Física y
Matemáticas con especialidad en Matemáticas].
Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior
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Accepted October 15, 2023.
